[学习目标]

1．了解数学建模的基本概念；

2．掌握一些常见的数学模型;

3．培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.

[关键词]

数学建模，过程，描述，求解

当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，

而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似

地刻划实际问题，得到一个数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实

际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。

（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。
（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。
（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量

之间的数量关系，建立其相应的数学结构。
（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来

验证模型的准确性。
（5）模型分析：如果模型与实际比较吻合，则要对计算的结果给出其实际含义，

并进行解释。

数学模型应该说是每个人都比较熟悉的，在初等数学中我们已经用建立数学模型的方法来解决实际问题了。譬如说有这样的一个“航行问题”：

甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30个小时，从乙到甲逆水航行需50个小时，问船速、水速各为多少？

用x,y分别代表船速和水速，可以列出方程：

实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题，方程的解x =20(公里／小时)，y =5(公里／小时)，最终给出了航行问题的答案。

马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”可以认为数学在各门科学中被应用的水平，标志着这门科学的发展水平。随着科学技术的进步，特别是计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会活动的各个领域。而建立数学模型则是数学应用的关键环节。

当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（x、y代表船速和水速）；利用相应的物理和其它规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上的解答（x =20，y =5）；用这个解答解释原问题（船速和水速分别为x =20公里／小时和y =5公里／小时）；最后还要用实际现象来验证上述结果。

一般来说这些过程可以分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环。如下图：

图5－4

所以简单地说，解决数学应用问题可分为三个步骤：一是审题；二是建立数学模型；三是求解数学模型。其中审题是基础，建立数学模型是关键，解题是目标，因此，数学应用问题的解题思路也可如下框所示：

图5－5

下面通过几例说明常见的数学模型。

1．  建立不等式模型

例1某地为促进淡水养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水养殖提供政府补贴。设淡水的市场价格为x元/kg，政府补贴为t元/kg，根据市场调查，当 时淡水鱼的市场日供应量Pkg与市场日需求量Qkg近似地满足关系：

当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格。

    i.      将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；

      ii.为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？

分析：本题不单是考查一些应用能力，更重要的是强调数学的社会化功能，该题反映了我国当前的经济生活。我国市场经济后，价格由国家管理到市场调节，价值规律对商品生产和流通具有重大的调节作用。商品价格围绕价值上下波动，并受市场供求的影响。因而政府在管理经济时可以使用经济手段来进行调控。本题中的补贴即为一种调控手段。

其次，从数学角度来理解政府补贴t的含义，可与税收联系起来。当t＞0时，是补贴，意在扶持、促进某个行业的发展；如果t＜0，则是课税，为政府积累资金。从中可以看出，数学在处理经济问题时作用巨大。同是这一供求模型，只要调整参数即可应用于不同的行业。

所以，本题为供求关系的数学模型，由 应看出市场日供应量P与价格x、政府补贴t分别成正比例关系，即价格越高或政府补贴越多，供应量就越多。由 应看出市场日需求量Q与价格x的关系满足一段椭圆弧线。当价格太高，接近于14元／千克时，买鱼的人就很少，当价格较低时，买鱼的人就增多，当价格低到一定程度时，需求量就稳定在一定的水平上，不再增加，供应量与需求量基本平衡。这现两条曲线的交点对应的价格，即P＝Q的价格就是市场平衡价格。

例2建筑学规定，民用住宅的窗户,面积须小于地面面积，但按采光标准，窗户的面积与地板面积的比不小于10％，其比值越大，住宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了还是变坏了？说明理由。

分析：不妨设原来的住宅窗户面积和地板面积分别为a、b（平方单位），同时增加的面积为m（平方单位），则本题转化为：

当 易知，住宅的采光条件变好了。

2．  建立数列模型

例3    购物一万四千元，以分期付款的方式结算，先缴四千元，所欠购物款一万元按每月偿还定额，计划12个月付清，若月利率为1％，求每月偿还定额款多少？（精确到元）

分析：12个月后，1万元购物款连同复利息与每分期付款及复利息之和相等，1万元购物款12个月后本利和为1Í1.01¹²，每月偿还x万元，因最后一月付款没有利息，所以从最后一个月往前推，直到第一个月本利和依次为x,1.01x,1.01²x,…,1.01¹¹x,即

1Í1.01¹²＝x＋1.01x＋1.01²x＋…＋1.01¹¹x.解之得x＝899（元）

例4    从多个地方抽调一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦，若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕。但他们由于距离不同，是每隔一段相同的顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问这种收割方式在这片麦地上工作了多长时间？

分析：依题意，这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，这种方式的作业时间就是第一台收割机的作业时间，问题转化为求等差数列的首项。

设这n台收割机的工作时间依次为a₁,a₂,…,a_n小时，依题意a₁,a₂,…,a_n组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为 ，则有：

由（2）得 ，即         （3）

联立（1）与（3）解出a₁＝40（小时）

综上所述，我们可以利用数学模型的方法来解决数学应用问题，但要注意如下几个重要步骤：

1．阅读：重在理解。应分整体理解和字句理解两个层次，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型，思想内核和社会化功能，初步预测所属数学模型，排除专业术语、生活俗语、地方性习惯用语等文字语言障碍。目前，高考题中采用即时定义解释专业术语，要仔细阅读，认真领会即时定义的内涵与外延，掌握其定义对象的本质属性和使用范围，这时破题的关键（如例2）。

2．翻译：这是建模的直接准备，是指将题中所有数量关系的文字语言、图象语言等转译为数学符号语言（数、式、方程、不等式、函数等）或三种数学语言的相互翻译。翻译得好了，数量关系就清楚了，数学模型就基本明白了（再如例2）。

3．建模：重在选择切合题意的数学模型，这是数学能力的反应，不要匆忙地将首先想到的知识就作为解答的模型，应选择自己最熟悉或运算过程少、长度短、技巧性不太强的数学模型来详细解答（如例1）。

4．运算：应用题转化为纯数学模型后，所需数学知识与数学方法均为基本知识和基本方法，难度不大，但应注意选择合适的数学方法，设计合理、简捷的运算途径，并特别注意题目设置的限制条件，同时要注意生产、生活、经济、科技实际对量的限制。许多学生只知埋头计算，盲目推演就是算理算法不清晰、目标不清楚的表现。

5．评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合社会实际：一要验证解答的结果是否符合数学模型，预防增解或漏解；二是评判解答的结果是否符合实际问题的要求。

1． 降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深为35cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，求此次下雨的降水量是多少毫米（精确到1毫米）？

2．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

⑴写出该城市人口数 （万人）与年份 （年）的函数关系式；

⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

3．一些大中城市的火车站，客流量非常大，平均每十几分钟就会有一列客车进站或发车，为了减少车站压力，使旅客尽可能少的在车站逗留，当客流量超过一定量时，就会在站台设立过轨天桥。当客流量超过多少时？在车站要设立过轨天桥。

4．兴修水利所开渠道断面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，要求湿透长度（即断面与水接触的边界长度）为定值L，问渠深多少时，可使流量最大。