三角函数恒等变换

二倍角的三角函数——第一课时（二倍角公式的推导，求值）

例1 求下列各式的值：

(1) sin15°cos15°；       (2) cos⁴－sin⁴；　

变式：利用二倍角公式，求cos cos cos cos的值．

例2  已知sina＝，a∈(，π)，求sin2a，cos2a，tan2a的值．

例3 若tanq＝3，求sin2q的值．

例4 已知sin(＋α)＝，求sin2α．

二倍角的三角函数——第二课时（二倍角公式变形，化简、证明）

例1化简－，其中a∈(，)．

例2化简，其中a∈(，2π)．

例3 求证＝tanθ．

例4 求函数y＝cos²x＋cosxsinx的值域

练习：已知函数f (x)＝sin²x＋sinxcosx＋2cos²x，xR.

(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2) 求函数f(x)的最大值和最小值；

(3) 求函数f(x)的对称轴和对称中心；

(4) 用五点法作出函数f(x)在一个周期上的图象；

(5) 函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？

例5 化简:sin²(α－)＋sin²(α＋)－sin²α．

二倍角的三角函数——第三课时（三角关系式的综合应用）

例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a，b，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．

(1)求tan(a＋b)的值； (2)求a＋2b的值．

例2 已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α), α∈，且a⊥b.

(1)求tan α的值；(2)求cos的值．

练习：已知a＝(2cos x，1)，b＝(sin x＋cos x，－1)，函数f(x)＝a·b．

(1)    求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值；

(2)    若f(x₀)＝，x₀∈[，]，求cos2x₀的值；

(3)    若函数y＝f(ωx)在区间(，)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．

例3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？

分析：只要矩形的的一个顶点确定了，矩形就确定了，那如何

描述矩形顶点的运动？如何描述点A？如何描述点B？

变式：如图，已知⊙O是一根原木的直截面图．现要将该原木加工成直

截面是矩形的方木，问：怎样设计才能尽量减少木材的浪费．

例4 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积．

几个三角恒等式

sinacosb＝[sin(a＋b)＋sin(a－b)]，              cosasinb＝[sin(a＋b)－sin(a－b)]，

cosacosb＝[cos(a＋b)＋cos(a－b)]，      sinasinb＝－[cos(a＋b)－cos(a－b)]．

上述表达式把三角函数的乘积化为同名的三角函数的和或者差，统称积化和差公式．

sinA＋sinB＝2sincos，                     sinA－sinB＝2cossin，

cosA＋cosB＝2 coscos，           cosA－cosB＝－2sinsin．

上述表达式把同名的三角函数的和或者差化为三角函数的乘积，统称和差化积公式．

第二周选修课：吴祥华老师——三角恒等变换

              王友伟老师——不等式，从品老师——数论